题目内容
5.设函数f(x)=|2x+1|+|2x-a|+a,x∈R.(Ⅰ)当a=3时,求不等式f(x)>7的解集;
(Ⅱ)对任意x∈R恒有f(x)≥3,求实数a的取值范围.
分析 (Ⅰ)当a=3时,$f(x)=\left\{\begin{array}{l}5-4x,x≤-\frac{1}{2}\\ 7,-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\\ 4x+1,x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$,解不等式,最后求并集即可;
(Ⅱ)由绝对值不等式的性质,可得f(x)的最小值为|a+1|+a,由恒成立思想可得|a+1|+a≥3,解不等式即可得到a的范围.
解答 解:(Ⅰ)当a=3时,$f(x)=\left\{\begin{array}{l}5-4x,x≤-\frac{1}{2}\\ 7,-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\\ 4x+1,x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$
所以f(x)>7的解集为$x|x<-\frac{1}{2}$或$\left.{x>\frac{3}{2}}\right\}$
(Ⅱ)f(x)=|2x+1|+|a-2x|+a≥|2x+1+a-2x|=|a+1|+a,
由f(x)≥3恒成立,有|a+1|+a≥3,解得a≥1.
所以a的取值范围是a≥1.
点评 本题主要考查绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立问题,运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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18.不等式2x2-x-1<0的解集为( )
A. | (-$\frac{1}{2}$,1) | B. | (1,+∞) | C. | (1,2) | D. | (-1,$\frac{1}{2}$) |
10.已知-1,a,b,-4成等差数列,-1,c,d,e,-4成等比数列,则$\frac{b-a}{d}$=( )
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$ |