题目内容
(12分)如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=60°,AB=AC=2
,以PA为直径的球O和PB、PC分别交于B1、C1
(1)求证B1C1∥平面ABC
(2)若二面角C—PB—A的大小为arctan2
,试求球O的表面积。


(1)求证B1C1∥平面ABC
(2)若二面角C—PB—A的大小为arctan2



(12分)

(1)连接AC1、AB1
∵PA⊥底面ABC
∴PA⊥AB、PA⊥AC
又∵AB=AC,易得△APC≌△APB
∴BP=CP
∠APB1=∠APC1
∵AP为球O的直径,∴AC1⊥PC1
AB1⊥PB1 ∴cos∠APB1=
=cos∠APC1=
∴PB1=PC1……………………(3分)
∴
∴B1C1∥BC
又∵B1C1
平面ABC,BC
平面ABC
∴B1C1∥平面ABC …………………………(6分)
(2)过点C作CD⊥AB于点D,则CD⊥平面ABP,过D作DE⊥PB于E,连CE,由三垂线定理知CE⊥PB
∴∠CED是二面角C—PB—A的平面角,即∠CED=arctan
∴tan∠CED=
∴DE=
sin∠PBA=
∴∠PBA=30°…………(9分)
∴AP=ABtan∠PBA=
∴球O的半径R=1………………(11分)
∴球O的表面积为
…………(12分)

(1)连接AC1、AB1
∵PA⊥底面ABC
∴PA⊥AB、PA⊥AC
又∵AB=AC,易得△APC≌△APB
∴BP=CP
∠APB1=∠APC1
∵AP为球O的直径,∴AC1⊥PC1
AB1⊥PB1 ∴cos∠APB1=


∴PB1=PC1……………………(3分)
∴

又∵B1C1


∴B1C1∥平面ABC …………………………(6分)
(2)过点C作CD⊥AB于点D,则CD⊥平面ABP,过D作DE⊥PB于E,连CE,由三垂线定理知CE⊥PB
∴∠CED是二面角C—PB—A的平面角,即∠CED=arctan

∴tan∠CED=

∴DE=

sin∠PBA=

∴∠PBA=30°…………(9分)
∴AP=ABtan∠PBA=

∴球O的半径R=1………………(11分)
∴球O的表面积为


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