题目内容
已知双曲线C：
（a>b>0）和圆O：x2+y2=b2（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点P（x0，y0）引圆O的两条切线，切点分别为A，B。
（1）若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围；
（2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值。
（a>b>0）和圆O：x2+y2=b2（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点P（x0，y0）引圆O的两条切线，切点分别为A，B。（1）若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围；
（2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值。
| 解：（1）因为a>b>0， 所以  所以  由∠APB=90°及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形， 所以  因为  所以  所以  故双曲线离心率e的取值范围为  。（2）因为  所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为  因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB， 所以联立方程组  消去x2，y2，即得直线AB的方程为x0x+y0y=b2。 |
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| （3）由（2）知，直线AB的方程为x0x+y0y=b2， 所以点O到直线AB的距离为  因为   所以三角形OAB的面积  因为点P（x0，y0）在双曲线  上，所以  ，即  设  所以  因为S'  所以当0＜t＜b时，S'>0，当t>b时，S'＜0 所以  在（0，b）上单调递增，在（b，+∞）上单调递减， 当  ，即 时，S最大值=  当  ，即 时， S最大值=  综上可知，当  ，S最大值= 当  时，S最大值= 。 |
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练习册系列答案
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（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足
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成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．
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=1（a＞0,b＞0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足|
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|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.
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=1(a＞0,b＞0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且|
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|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.
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（a>0,b>0）的左、右焦点分别为
、
，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为
.
，证明：
、
、
成等比数列.
（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x-y+1=0垂直，则实数a= ．