Question

已知函数y=f（x）在定义域R上为减函数，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1，
（1）证明：函数y=f（x）是奇函数．
（2）求不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞3的解集．

Answer 1

分析：（1）根据已知中对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，易得f（0）=0，令y=-x，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）计算f（3）=3，结合函数y=f（x）在定义域R上为减函数，将不等式化为具体不等式，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数；
（2）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1
∴f（3）=3
∴不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞3等价于不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞f（3）
∵函数y=f（x）在定义域R上为减函数，
∴log₂（x+2）+log₂x＜3
∴

x+2＞0 x＞0 x(x+2)＜8

，∴0＜x＜2
∴不等式的解集为（0，2）．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，考查函数单调性与奇偶性的结合，属于中档题．