题目内容
【题目】已知函数是关于
的偶函数.
(1)求的值;
(2)求证: 对任意实数,函数
的图象与函数
的图象最多只有一个交点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)通过函数是关于
的偶函数,可得
恒成立,可得
恒成立,从而可求
的值;(2) 由
, 得
, 所以
,令
,利用单调性的定义可证明
在
上单调递减,从而可得结论.
(1)因为f(x)是关于x的偶函数,
所以log2(2 - x + 1) + k( - x) = log2(2x + 1) + kx, 即2kx = log2= - x, 解得k = -
.
(2) 由, 得log2(2x + 1) -
x =
x + m,
所以 m = log2(2x + 1) -x = log2(1 +). 令h(x) = log2(1 +
),
设x1, x2 R, 且x1 < x2, 则>
, 所以log2(1 +
) > log2(1 +
),
所以h(x1) – h(x2) = log2(1 +) - log2(1 +
) > 0, 即 h(x1) > h(x2), ∴ h(x)在R上单调递减.
因此, 函数y = h(x)的图象与直线y = m的图象最多只有一个交点. 所以, 对任意实数m, 函数y = f(x)的图象与直线y =x + m的图象最多只有一个交点.
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