题目内容
(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切
于坐标原点.椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.
(1)求圆的方程;
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点F的距离等于
线段的长.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
+ =1 Q(,)
解析:
(1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8
已知该圆与直线y=x相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则
=2 即=4 ①
又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5,∴a2=25,则椭圆的方程为 + =1
其焦距c==4,右焦点为(4,0),那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q,使得该点到右焦点F的距离等于的长度4,我们可以
转化为探求以右焦点F为顶点,半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=,y=
即存在异于原点的点Q(,),使得该点到右焦点F的距离等于的长。
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