Question

已知函数f(x)=

x2

ax+b

(a，b为常数)，且方程f（x）-1=0有两个实根为x₁=-2，x₂=1
（1）求函数f（x）的解析式
（2）设k＞1，解关于x的不等式：f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

．

Answer 1

（1）∵函数f(x)=

x2

ax+b

(a，b为常数)，且方程f（x）-1=0有两个实根为x₁=-2，x₂=1，
∴将x₁=-2，x₂=1分别代入方程

x2

ax+b

-1=0，
∴

4 -2a+b -1=0 1 a+b -1=0

，解得

a=-1 b=2

，
故f(x)=

x2

2-x

(x≠2)；
（2）由（1）可知，f(x)=

x2

2-x

(x≠2)，
∴不等式f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

即为

x2

2-x

＜

(k+1)x-k

2-x

，
整理可得，

x2-(k+1)x+k

2-x

＜0，
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0，
①当1＜k＜2时，不等式的解集为（1，k）∪（2，+∞）；
②当k=2时，不等式即为（x-2）²（x-1）＞0，
∴不等式的解集为（1，2）∪（2，+∞）；
③当k＞2时，不等式的解集为（1，2）∪（k，+∞）．
综合①②③可得，当1＜k＜2时，不等式的解集为（1，k）∪（2，+∞），
当k=2时，不等式的解集为（1，2）∪（2，+∞），
当k＞2时，不等式的解集为（1，2）∪（k，+∞）．