题目内容

定义在R上的函数同时满足以下条件:

(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;

是偶函数;

x0处的切线与直线yx2垂直.

(1)求函数的解析式;

(2)g(x),若存在实数x[1e],使g(x)<,求实数m的取值范围。

 

(1) f(x)x3 x3 (2) m>2e e3

【解析】

试题分析:(1)三个条件,三个未知数,本题就是通过条件列方程组解参数,第一个条件说的是单调性,实质是导数,即3a2bc0;第二个条件是函数的奇偶性,利用恒成立即可,b0;第三个条件是导数几何意义,即c1 ;因此(2)存在型问题,转化为函数最值,首先进行变量分离,即m>xlnx x3x,然后求函数M(x)xlnx x3x[1e]上最小值,这又要利用导数研究函数M(x)[1e]上的单调性,分析得为M(x)[1e]上递减,所以M(x)最小值为M(e)2e e3于是有m>2e e3

试题解析:【解析】
(1)f(x)3ax22bxc,∵f(x)(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,

f(1)3a2bc0

f(x)是偶函数得:b0

f(x)x0处的切线与直线yx2垂直,f(0)c1

由①②③得:ab0c1,即. 4

(2)由已知得:存在实数x[1e],使lnx <x2 1

即存在x[1e],使m>xlnx x3x 6

M(x)xlnx x3xx[1e],则M(x)lnx 3x22 8

H(x)lnx 3x22,则H(x) 6x 10

M(x)[1e]上递减,

x[1e],∴H(x)<0,即H(x)[1e]上递减

于是,H(x)H(1),即H(x)1<0,即M(x)<0

M(x)M(e)2e e3

于是有m>2e e3为所求. 12

考点:导数在函数中的应用

 

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