题目内容

5.两个半径分别为r1,r2的圆M,N,公共弦AB长为3,如图所示,则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=9.

分析 可连接MN,从而可知MN⊥AB,且平分AB,设MN与AB交于O,则有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=$2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$,根据$|\overrightarrow{AO}|=\frac{3}{2},|\overrightarrow{AB}|=3$便可求出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$,从而得出答案.

解答 解:如图,连接MN,交AB于O,则MN⊥AB,且MN把AB平分;

∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=$(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM})•\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{A0}+\overrightarrow{ON})•\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+0+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+0$
=$2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=2×\frac{3}{2}×3=9$.
故答案为:9.

点评 考查两圆心的连线垂直且平分相交弦,向量加法的几何意义,向量垂直的充要条件,以及向量数量积的计算公式.

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