Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由题意，证出四边形BCDQ为平行四边形，得CD∥BQ，结合∠ADC=90°证出QB⊥AD．再根据平面PAD⊥底面ABCD，利用面面垂直的判定与性质即可证出平面PQB⊥平面PAD． 
（II）由面面垂直性质定理，证出PQ⊥平面ABCD．以QA、QB、QP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，可得A、P、B、C各点的坐标，利用中点坐标公式算出M的坐标，进而得到

AP

、

BM

的坐标，利用空间向量夹角公式加以计算，即可得到异面直线AP与BM所成角的余弦值为

2 7

7

．

解答：解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，可得CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． 
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．（注：不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
因此，以Q为原点、QA、QB、QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示
则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0）
∵M是PC中点，∴M（-

1

2

，

3

2

，

3

2

）
∴

AP

=（-1，0，

3

），

BM

=（-

1

2

，-

3

2

，

3

2

）
设异面直线AP与BM所成角为θ，
则cosθ=|cos＜

AP

，

BM

＞|=

AP • BM

| AP |•| BM |

=

2 7

7

．
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为

2 7

7

．

点评：本题在特殊的四棱锥中求证面面垂直、并求异面直线的所成角．着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明、利用空间向量求异面直线所成角等知识，属于中档题．