Question

5．已知α是第三象限角，且满足$\sqrt{6}$sinα+cosα=$\sqrt{5}$，则tanα=（　　）

• A． $\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 由已知可得tanα＞0，将已知等式平方后，利用降幂公式，同角三角函数关系式化简可得t²+2$\sqrt{6}$t-4=0，从而可解得tanα的值．

解答 解：∵α是第三象限角，且满足$\sqrt{6}$sinα+cosα=$\sqrt{5}$，设tanα=t＞0，
∴平方可得：6sin²α+cos²α+2$\sqrt{6}$sinαcosα=5，
∴整理可得：$\sqrt{6}$sin2α-$\frac{5}{2}$cos2α=$\frac{3}{2}$，
∴$\sqrt{6}×\frac{2t}{1+{t}^{2}}-\frac{5}{2}×\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，整理可得：t²+2$\sqrt{6}$t-4=0，
∴解得：t=$\sqrt{10}-\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了降幂公式，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基础题．