Question

【题目】已知函数.

(1)求的单调区间;

(2)若,都有,求实数的取值范围;

(3)证明: 且).

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：(1) ,分两种情况讨论的符号,即可判断函数的单调性;

(2)结合(1)的结论,求出函数的最大值,即可得出结论;

(3)由(2)知: 时, 在上恒成立,且在上单调递减, ,所以在上恒成立,令,则,再利用放缩法即可证明结论.

试题解析：

(1)函数的定义域为,

①若时, 时, ,

的单调递增区间是,单调递减区间是;

②时, 恒成立, 的单调递增区间是,

综上①②知: 时, 的单调递增区间是,无单调递减区间;

时, 的单调递增区间是,单调递减区间是.

(2)由(1)知:当时, 在上单调递增,且,

恒成立是假命题;

当时,由(Ⅰ)知: 是函数的最大值点,

,

,

故的取值范围是.

(3)证明:由(2)知: 时, 在上恒成立,

且在上单调递减, ,

,即在上恒成立.

令,则,即,

,

=,

故且).