Question

【题目】设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使 ，求数列{bn}的通项bn；
（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵a1=S1=1，S2=1+a2，

∴a2=

又3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t ①

∴3tSn﹣1﹣（2t+3）Sn﹣2=3t ②

①﹣②得：3tan﹣（2t+3）an﹣1=0，

∴ ，（n=2，3，…）

∴{an}是一个首项为1、公比为 的等比数列

（2）解：∵f（t）= ，

∴bn=f +bn﹣1．

∴数列{bn}是一个首项为1、公差为 的等差数列．

∴bn=1+ （n﹣1）=

（3）解：∵bn= ，

∴数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和 ，公差均为 的等差数列，

于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1

=b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+b6（b5﹣b7）+…+b2n（b2n﹣1+b2n+1）

=﹣ （b2+b4+…+b2n）

=﹣

=﹣ （2n2+3n）

【解析】（1）通过3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t与3tSn﹣1﹣（2t+3）Sn﹣2=3t作差、整理得 （n=2，3，…），进而可得结论；（2）通过（1）可知bn=f +bn﹣1 ， 即数列{bn}是一个首项为1、公差为 的等差数列，进而即得结论；（3）通过bn= 可知数列{b2n﹣/span>1}和{b2n}是首项分别为1和 、公差均为 的等差数列，并项取公因式，计算即得结论．
【考点精析】通过灵活运用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．