Question

【题目】如图，双曲线 =1（a，b＞0）的两顶点为A1 ， A2 ， 虚轴两端点为B1 ， B2 ， 两焦点为F1 ， F2 ． 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ， 切点分别为A，B，C，D．则： （Ⅰ）双曲线的离心率e=；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 = ．

Answer 1

【答案】；
【解析】解：（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为
∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ，
∴ =a
∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2
∴c4﹣3a2c2+a4=0
∴e4﹣3e2+1=0
∵e＞1
∴e=
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc
设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴
∵m2+n2=a2 ， ∴ ，
∴面积S2=4mn=
∴ = =
∵bc=a2=c2﹣b2
∴
∴ =
故答案为： ，
（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为 ，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ， 可得 =a，由此可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn= ，由此可得结论．