题目内容
【题目】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0， 
）上无零点，求a最小值．
【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，
则f′（x）=1﹣ 
，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．
（2）因为f（x）＜0在区间（0， 
）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0， ）上无零点，只要对任意的x∈（0， ），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0， ），a＞2﹣ 
恒成立．
令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），
则l′（x）= 
，
再令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），
则m′（x）=﹣ 
+ = 
＜0，
故m（x）在（0， ）上为减函数，于是m（x）＞m（ ）=2﹣2ln2＞0，
从而l（x）＞0，于是l（x）在（0， ）上为增函数，
所以l（x）＜l（ ）=2﹣4ln2，
故要使a＞2﹣ 恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在（0， ）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2．
【解析】（1）当a=1时，对函数进行求导，得出单调区间；（2）通过分析不难得出要使得f（x）在给定区间无零点，只需要f（x）在给定区间恒大于零，进行参变分离，构造函数，求导，得出a的最小值.
名师导航单元期末冲刺100分系列答案
【题目】某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=axb（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸（mm） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量（g） | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
对数据作了初步处理，相关统计量的值如表：
|
|
|
|
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（ 
， 
）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．
附：对于一组数据（v1 ， u1），（v2 ， u2），…，（vn ， un），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为 
= 
， 
= 
﹣ 
．
【题目】某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分．下面是30位应聘人员的测试成绩的测试成绩：64，116，82，93，102，82，104，67，93，118，70，95，119，106，83，72，95，106，72，119，122，95，86，74，131，76，88，108，97，123．
（1）求应聘人员的测试成绩的样本平均数 
（保留小数点后两位）；
（2）根据以上数据完成下面茎叶图：
应聘人员的测试成绩 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 | |
12 | |
13 | |
（3）由茎叶图可以认为，应聘人员的测试成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2 ， 其中s2=18.872 ， 利用该正态分布，求P（76.40＜Z＜114.14）．
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，
P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
【题目】某中学人力资源部计划2016年招聘2名数学教师，共5名应聘者进入最后课堂实录环节．5名数学组评审专家给出评分如表：
评审专家/应聘老师 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
评审专家A | 93.0 | 90.0 | 88.5 | 89.5 | 82.5 |
评审专家B | 94.0 | 83.0 | 89.0 | 93.0 | 81.0 |
评审专家C | 91.0 | 85.0 | 81.5 | 88.0 | 81.0 |
评审专家D | 92.0 | 91.5 | 81.0 | 94.5 | 87.0 |
评审专家E | 95.5 | 91.0 | 90.0 | 95.5 | 88.5 |
（Ⅰ）若依据去掉一个最高分和一个最低分规则计算应聘老师成绩，试确定最终应聘成功的2名数学老师的序号；
（Ⅱ）在课堂实录环节，每名应聘老师都需要从5名评审专家中随机选取2名进行点评，且每名应聘老师的选择互不影响，设X表示评审专家A进行点评的次数，求X的分布列以及数学期望；
（Ⅲ）记评审专家A与评审专家B给出的评分的方差分别为 
，试比较 
与 
的大小．（只需写出结论）
