Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣a（x+1）（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）＞a2﹣a，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣a，

若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）在R递增，

若a＞0，令f′（x）＞0，解得；x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，

∴f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增

（2）解：若a＞0，只需f（lna）＞a2﹣a，即﹣alna＞a2﹣a，

即lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，

a＞0时，g（a）递增，又g（1）=0，则0＜a＜1；

若a＜0，则f（ln（﹣a））=﹣aln（﹣a）﹣2a，

f（ln（﹣a））﹣（a2﹣a）=﹣aln（﹣a）﹣a2﹣a=﹣a[ln（﹣a）+a+1]

∵ln（﹣a）+a+1≤0，∴﹣a[ln（﹣a）+a+1]≤0，

则f[ln（﹣a）]≤a2﹣a，不合题意，

综上，a的范围是（0，1）

【解析】（Ⅰ）求导函数，根据导导函数和0的关系由此可得f（x）的单调性；（Ⅱ）需要分类讨论，根据函数的单调求出函数的最值，即可求出a的范围．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．