Question

13．若sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，其中0＜α＜$\frac{π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，则cos（α+β）=$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 根据两角和差的余弦公式利用α+β=（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）进行转化求解即可．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，
∴0＜$\frac{π}{4}$-α＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+β＜$\frac{π}{2}$，
∵sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，
则cos（α+β）=cos[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=cos（$\frac{π}{4}$-α）cos（$\frac{π}{4}$+β）+sin（$\frac{π}{4}$-α）sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$，
故答案为：$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查三角函数值的求解，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键．注意条件角和结论角之间的关系．