题目内容
12.在侧棱长为a的正三棱锥S-ABC中,∠BSA=$\frac{π}{2}$,P为△ABC内一动点,且P到三个侧面SAB,SBC,SCA的距离为d1,d2,d3.若d1+d2=d3,则点P形成曲线的长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a.分析 根据题意,把该三棱锥还原为棱长为a的正方体中,画出图形,结合图形得出点P形成的曲线是△ABC的一条中位线,由此求出它的长度.
解答 解:侧棱长为a的正三棱锥S-ABC中,∠BSA=$\frac{π}{2}$,
∴∠BSC=∠ASC=$\frac{π}{2}$,
把该三棱锥还原为棱长为a的正方体中,如图所示;
又P为△ABC内一动点,P到三个侧面SAB,SBC,SCA的距离为d1,d2,d3;
当d1+d2=d3时,点P在AB的中点与AC的中点所组成的△ABC的中位线上时,
满足条件,所以点P形成曲线的长度为$\frac{1}{2}$BC=$\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{2}}{2}$a.
点评 本题考查了空间位置关系与距离的应用问题,也考查了转化思想的应用问题,考查了空间想象能力的应用问题.
练习册系列答案
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