题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,,BC=1,,PD=CD=2.
(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(II)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
【考点定位】本小题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(II)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
【考点定位】本小题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
(I)2 (2)见解析 (3)
(I)解:如图,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,又因为,故为异面直线PA与BC所成的角.在中,
所以,异面直线PA与BC所成的角的正切值为2.
(II)证明:由于底面ABCD为矩形,故,又由于,,因此而.所以.
(III)解:在平面PDC中,过点P作交直线CD于点E,连接EB.
由于,而直线CD是平面PDC与平面ABCD所成的角.
在中,由于PD=CD=2,,可得.
在中,
由AD∥BC,,得,因此.
在中,
在中,
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为
所以,异面直线PA与BC所成的角的正切值为2.
(II)证明:由于底面ABCD为矩形,故,又由于,,因此而.所以.
(III)解:在平面PDC中,过点P作交直线CD于点E,连接EB.
由于,而直线CD是平面PDC与平面ABCD所成的角.
在中,由于PD=CD=2,,可得.
在中,
由AD∥BC,,得,因此.
在中,
在中,
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为
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