Question

11．试判断方程x³+3x²-3x-6=0是否存在正实数解？若存在，求出该解的近似值．

Answer 1

分析 令y=x³+3x²-3x-6，求出导数，求得单调区间，可得极值，再由两点存在定理，即可得到方程的正根的近似值．

解答 解：令y=x³+3x²-3x-6，则y′=3x²+6x-3，
当x＞$\sqrt{2}$-1或x＜-$\sqrt{2}$-1时，y′＞0，函数递增；
当-$\sqrt{2}$-1＜x＜$\sqrt{2}$-1时，y′＜0，函数递减．
即有x=$\sqrt{2}$-1处取得极小值，且为-1-4$\sqrt{2}$＜0，
x=-$\sqrt{2}$-1处取得极大值，且为7$\sqrt{2}$-1＞0，
且x=0时，y=-6＜0，
则方程有一个正根m，
由f（1）=-5＜0，f（2）=8＞0，
可得m∈（1，2），
又f（1.5）=-0.375＜0，
则m∈（1.5，2），
又f（1.75）＞0，即有m∈（1.5，1.75），
即有m≈1.6．

点评 本题考查方程和函数的转化思想，考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点存在定理和运算能力，属于中档题．