Question

给出下列四个命题：
①命题：“设a，b∈R，若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“设a，b∈R，若ab≠0，则a≠0且b≠0”；
②将函数y=sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数y=cosx的图象；
③用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；
④函数f（x）=e^x-x-1（x∈R）有两个零点．
其中所有真命题的序号是________．

Answer 1

①③
分析：因为“设a，b∈R，若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“设a，b∈R，若ab≠0，则a≠0且b≠0”； 判断出①对；
利用函数的图象的平移变换规律判断出 ②错；
因为当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k）；当n=k+1时左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）判断出③对；
通过导函数的符号，判断出函数的单调性，进一步得到零点的个数，判断出④错．
解答：对于①：“设a，b∈R，若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“设a，b∈R，若ab≠0，则a≠0且b≠0”； 故①对；
对于②，将函数y=sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数y=sinx的图象； 故②错；
对于③，当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k）；当n=k+1时左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）
所以左边需增添的一个因式是2（2k+1）； 故③对；
对于④，因为f′（x）=e^x-1，当x＞0时因f′（x）=e^x-1＞0，f（x）递增；当x＜0时，f′（x）=e^x-1＜0，函数f（x）递减，又因为f（0）=0，所以f（x）只有一个零点，故④错．
故答案为：①③
点评：解决图象平移变换的问题，一定注意左右平移的单位是自变量x上加、减的数的绝对值，遵循左加右减的规律．