题目内容

已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若对任意正实数x,不等式恒成立,求实数k的值;
(Ⅲ)求证:.(其中
(Ⅰ)单调递减区间为,单调递增区间为
(Ⅱ)(Ⅲ)利用放缩不等式可以证明,或用数学归纳法证明

试题分析:(Ⅰ)易知函数的定义域为
 ;
(Ⅱ)解法一: 
 
 
  
 
 

综上:
解法二: 
  
由题意 

 
(Ⅲ)证法一: 
  
,并累加得:  
 
 
证法二:数学归纳法(略)
点评:用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质时,不要忘记先求函数的定义域,用放缩法证明不等式时,要注意放缩的力度要恰当,如果用数学归纳法证明,需要严格按步骤进行.
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