题目内容
设函数y=f(x)对任意的实数x,都有
f(x)=f(x-1),且当x∈[0,1]时,f(x)=27x
2(1-x).
(1)若x∈[1,2]时,求y=f(x)的解析式;
(2)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞)),试问:在它的图象上是否存在点P,使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行.若存在,那么这样的点P有几个;若不存在,说明理由.
(3)已知 n∈N
*,且 x
n∈x[n,n+1],记 S
n=f(x
1)+f(x
2)+…+f(x
n),求证:0≤S
n<4.
(1)∵f(x)=
f(x-1),
设x∈[1,2],则0≤x-1≤1,
∴f(x)=
f(x-1)=
(x-1)
2(2-x).
(2)设x∈[n,n+1],则0≤x-n≤1,
f(x-n)=27(x-n)(n+1-x),
∴f(x)=
f(x-1)=
(x-2)=
(x-3)=…=
(x-n)=
(x-n)
2(n+1-x),
∴y=f(x),x∈[0,+∞].
f(x)=
(x-n)2(n+1-x),x∈[n,n+1],n∈N.
∴f′(x)=
[2(x-n)(n+1-x)-(x-n)2]=-
[3x
2-2(3n+1)x+n(3n+2)]
=-
[x
2-2(n+
)x+n(n+
)]
=-
(x-n)[x-(n+
)],
∴问题转化为判断关于x的方程-
(x-n)[x-(n+
)]=-1在[n,n+1],n∈N内是否有解,
即
(x-n)[x-(n+)]=-1在[n,n+1],n∈N内是否有解,
令g(x)=(x-n)[x-(n+
)]-
=x
n-
x+
-
,
函数y=g(x)的图象是开口向上的抛物线,
其对称轴是直线x=n+
∈[n,n+1],
判别式
△=(-)2-4(-)=
+>0,
且g(n)=-
<0,g(n+1)=
-=
.
①当0≤n≤4,n∈N时,∵g(n+1)>0,
∴方程
(x-n)[x-(n+)]=-1分别在区间[0,1],[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]上各有一解,
即存在5个满足题意的点P.
②当n≥5(n∈N)时,∵g(n+1)<0,
∴方程
(x-n)[x-(n+)]=-1在区间[n,n+1],n∈N,n≥5上无解.
综上所述,满足题意的点P有5个.
(3)由(2)知f′(x)=-
(x-n)[x-(n+
)],
∴当x∈(n,n+
)时,f′(x)>0,f(x)在(n+
,n+1)上递减,
∴当x∈[n,n+1],n∈N时,f(x)
max=f(n+
)=
,
又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0,
∴对任意的n∈N
*,当x
n∈[n,n+1]时,都有0
≤f(xn)≤,
∴S
n=f(x
1)+f(x
2)+…+f(x
n)
≤
++++…+=4-
<4,
∴0≤S
n<4.
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