题目内容

设函数y=f(x)对任意实数x,都有f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1]时,f(x)=
27
4
x2(1-x).
(Ⅰ)已知n∈N+,当x∈[n,n+1]时,求y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求证:对于任意的n∈N+,当x∈[n,n+1]时,都有|f(x)|≤
1
2n

(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,那么这样点有多少个?并说明理由.
分析:(Ⅰ)通过已知表达式,求出f(x-n)=
27
4
(x-n)2(1+n-x).通过递推关系式求出f(x)的解析式;
(Ⅱ)求出函数的导数,求出函数的最大值,利用最大值小于等于
1
2n
,即可证明对于任意的n∈N+,当x∈[n,n+1]时,都有|f(x)|≤
1
2n

(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,转化为方程f'(x)=-1在[n,n+1]上有解问题,通过①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,推出有一解,即存在三个点P;②n≥3时,g(n+1)<0,没有解.得到结果.
解答:解:(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)⇒f(x)=
1
2
f(x-1),x∈[n,n+1],则(x-n)∈[0,1]
⇒f(x-n)=
27
4
(x-n)2(1+n-x).
f(x)=
1
2
f(x-1)=
1
22
f(x-2)=…=
1
2n
f(x-n)=
27
2n+2
(x-n)2(1+n-x).(n=0也适用).…(4分)
(Ⅱ)f'(x)=-
81
2n+2
(x-n)(x-
3n+2
3
)
,由f'(x)=0得x=n或x=n+
2
3

           x n (n,n+
2
3
n+
2
3
(n+
2
3
,n+1)
n+1
f'(x) + 0 - +
0 极大 0
f(x)的极大值为f(x)的最大值,fmax=f(n+
2
3
)=
1
2n

又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0,∴|f(x)|=f(x)≤
1
2n
(x∈[n,n+1]).…(8分)
(Ⅲ)y=f(x),x∈[0,+∞)即为y=f(x),x∈[n,n+1],f'(x)=-1.
本题转化为方程f'(x)=-1在[n,n+1]上有解问题
即方程(x-n)(x-
3n+2
3
)-
2n+2
81
=0
在[n,n+1]内是否有解.…(11分)
令g(x)=(x-n)(x-
3n+2
3
)-
2n+2
81
=x2-
6n+2
3
x+
3n2+2n
3
-
2n+2
81
6

对轴称x=n+
1
3
∈[n,n+1],
又△=…=
4
9
+
2n+4
81
>0
,g(n)=-
2n+2
81
<0
,g(n+1)=
27-2n+2
81

①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解,即存在三个点P;
②n≥3时,g(n+1)<0,方程g(x)=0在[n,n+1]上无解,即不存在这样点P.
综上所述:满足条件的点P有三个.…(16分)
点评:本题通过函数的导数判断函数的单调性求出函数的最大值,证明恒成立问题的应用,考查函数与方程的根的问题,考查转化思想,逻辑推理能力,计算能力.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网