题目内容
设函数y=f(x)对任意实数x,都有f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1]时,f(x)=
x2(1-x).
(Ⅰ)已知n∈N+,当x∈[n,n+1]时,求y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求证:对于任意的n∈N+,当x∈[n,n+1]时,都有|f(x)|≤
;
(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,那么这样点有多少个?并说明理由.
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(Ⅰ)已知n∈N+,当x∈[n,n+1]时,求y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求证:对于任意的n∈N+,当x∈[n,n+1]时,都有|f(x)|≤
1 |
2n |
(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,那么这样点有多少个?并说明理由.
分析:(Ⅰ)通过已知表达式,求出f(x-n)=
(x-n)2(1+n-x).通过递推关系式求出f(x)的解析式;
(Ⅱ)求出函数的导数,求出函数的最大值,利用最大值小于等于
,即可证明对于任意的n∈N+,当x∈[n,n+1]时,都有|f(x)|≤
;
(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,转化为方程f'(x)=-1在[n,n+1]上有解问题,通过①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,推出有一解,即存在三个点P;②n≥3时,g(n+1)<0,没有解.得到结果.
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(Ⅱ)求出函数的导数,求出函数的最大值,利用最大值小于等于
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2n |
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2n |
(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,转化为方程f'(x)=-1在[n,n+1]上有解问题,通过①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,推出有一解,即存在三个点P;②n≥3时,g(n+1)<0,没有解.得到结果.
解答:解:(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)⇒f(x)=
f(x-1),x∈[n,n+1],则(x-n)∈[0,1]
⇒f(x-n)=
(x-n)2(1+n-x).
f(x)=
f(x-1)=
f(x-2)=…=
f(x-n)=
(x-n)2(1+n-x).(n=0也适用).…(4分)
(Ⅱ)f'(x)=-
(x-n)(x-
),由f'(x)=0得x=n或x=n+
f(x)的极大值为f(x)的最大值,fmax=f(n+
)=
,
又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0,∴|f(x)|=f(x)≤
(x∈[n,n+1]).…(8分)
(Ⅲ)y=f(x),x∈[0,+∞)即为y=f(x),x∈[n,n+1],f'(x)=-1.
本题转化为方程f'(x)=-1在[n,n+1]上有解问题
即方程(x-n)(x-
)-
=0在[n,n+1]内是否有解.…(11分)
令g(x)=(x-n)(x-
)-
=x2-
x+
-
6,
对轴称x=n+
∈[n,n+1],
又△=…=
+
>0,g(n)=-
<0,g(n+1)=
,
①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解,即存在三个点P;
②n≥3时,g(n+1)<0,方程g(x)=0在[n,n+1]上无解,即不存在这样点P.
综上所述:满足条件的点P有三个.…(16分)
1 |
2 |
⇒f(x-n)=
27 |
4 |
f(x)=
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n |
27 |
2n+2 |
(Ⅱ)f'(x)=-
81 |
2n+2 |
3n+2 |
3 |
2 |
3 |
x | n | (n,n+
|
n+
|
(n+
|
n+1 | ||||||
f'(x) | + | 0 | - | + | |||||||
0 | ↗ | 极大 | ↘ | 0 |
2 |
3 |
1 |
2n |
又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0,∴|f(x)|=f(x)≤
1 |
2n |
(Ⅲ)y=f(x),x∈[0,+∞)即为y=f(x),x∈[n,n+1],f'(x)=-1.
本题转化为方程f'(x)=-1在[n,n+1]上有解问题
即方程(x-n)(x-
3n+2 |
3 |
2n+2 |
81 |
令g(x)=(x-n)(x-
3n+2 |
3 |
2n+2 |
81 |
6n+2 |
3 |
3n2+2n |
3 |
2n+2 |
81 |
对轴称x=n+
1 |
3 |
又△=…=
4 |
9 |
2n+4 |
81 |
2n+2 |
81 |
27-2n+2 |
81 |
①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解,即存在三个点P;
②n≥3时,g(n+1)<0,方程g(x)=0在[n,n+1]上无解,即不存在这样点P.
综上所述:满足条件的点P有三个.…(16分)
点评:本题通过函数的导数判断函数的单调性求出函数的最大值,证明恒成立问题的应用,考查函数与方程的根的问题,考查转化思想,逻辑推理能力,计算能力.
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