题目内容

设函数y=f（x）对一切实数x都有f（3+x）=f（3-x）且方程恰有6个不同的实根，则这6个根之和为
18
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．
分析：根据函数f（x）满足f（3+x）=f（3-x），可得函数的图象关于x=3对称，从而得到方程f（x）=0的6个实数解中有3对，每一对的和为6，由此可得结论．
解答：解：∵对于任意实数x，函数f（x）满足f（3+x）=f（3-x），
∴函数的图象关于x=3对称，
∴函数的零点关于x=3对称，
∴方程f（x）=0的根关于x=3对称，
∴方程f（x）=0的6个实数解中有3对，
∴成对的两个根之和等于2×3=6，
∴6个实根之和是6×3=18．
故答案为：18．
点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是看出函数的图象关于直线x=1对称，得到函数的零点是成对出现的，属于基础题．
练习册系列答案
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2
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（1）若x∈[1，2]时，求y=f（x）的解析式；
（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
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27
4
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1
2n
；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．
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（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
（3）已知 n∈N*，且 xn∈x[n，n+1]，记 Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn），求证：0≤Sn＜4．

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