题目内容
设函数y=f（x）对任意的实数x，都有f(x)=
f(x-1)，且当x∈[0，1]时，f（x）=27x2（1-x）．
（1）若x∈[1，2]时，求y=f（x）的解析式；
（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
（3）已知 n∈N*，且 xn∈x[n，n+1]，记 Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn），求证：0≤Sn＜4．
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（1）若x∈[1，2]时，求y=f（x）的解析式；
（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
（3）已知 n∈N*，且 xn∈x[n，n+1]，记 Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn），求证：0≤Sn＜4．
分析：（1）由f（x）=
f(x-1)，设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，能求出f（x）．
（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），f（x）=
f(x-1)=
(x-2)=
(x-3)=…=
(x-n)=
（x-n）2（n+1-x），由此入手能够求出满足题意的点P的个数．
（3）由（2）知f′（x）=-
（x-n）[x-（n+
）]，当x∈（n，n+
）时，f′（x）＞0，f（x）在（n+
，n+1）上递减，当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x）max=f（n+
）=
，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，由此能够证明0≤Sn＜4．
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（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），f（x）=
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（3）由（2）知f′（x）=-
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又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，由此能够证明0≤Sn＜4．
解答：解：（1）∵f（x）=
f(x-1)，
设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，
∴f（x）=
f(x-1)=
（x-1）2（2-x）．
（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，
f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），
∴f（x）=
f(x-1)=
(x-2)=
(x-3)=…=
(x-n)=
（x-n）2（n+1-x），
∴y=f（x），x∈[0，+∞]．
f（x）=
(x-n)2(n+1-x)，x∈[n，n+1]，n∈N．
∴f′（x）=
[2(x-n)(n+1-x)-(x-n)2]
=-
[3x2-2（3n+1）x+n（3n+2）]
=-
[x2-2（n+
）x+n（n+
）]
=-
（x-n）[x-（n+
）]，
∴问题转化为判断关于x的方程-
（x-n）[x-（n+
）]=-1在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
即(x-n)[x-(n+
)]=-1在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
令g（x）=（x-n）[x-（n+
）]-
=xn-
x+
-
，
函数y=g（x）的图象是开口向上的抛物线，
其对称轴是直线x=n+
∈[n，n+1]，
判别式△=(-
)2-4(
-
)=
+
＞0，
且g（n）=-
＜0，g（n+1）=
-
=
．
①当0≤n≤4，n∈N时，∵g（n+1）＞0，
∴方程(x-n)[x-(n+
)]=-1分别在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，[3，4]，[4，5]上各有一解，
即存在5个满足题意的点P．
②当n≥5（n∈N）时，∵g（n+1）＜0，
∴方程(x-n)[x-(n+
)]=-1在区间[n，n+1]，n∈N，n≥5上无解．
综上所述，满足题意的点P有5个．
（3）由（2）知f′（x）=-
（x-n）[x-（n+
）]，
∴当x∈（n，n+
）时，f′（x）＞0，f（x）在（n+
，n+1）上递减，
∴当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x）max=f（n+
）=
，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，
∴对任意的n∈N*，当xn∈[n，n+1]时，都有0≤f(xn)≤
，
∴Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn）
≤
+
+
+
+…+
=4-
＜4，
∴0≤Sn＜4．
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设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，
∴f（x）=
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（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，
f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），
∴f（x）=
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∴y=f（x），x∈[0，+∞]．
f（x）=
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∴f′（x）=
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=-
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=-
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∴问题转化为判断关于x的方程-
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即(x-n)[x-(n+
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令g（x）=（x-n）[x-（n+
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函数y=g（x）的图象是开口向上的抛物线，
其对称轴是直线x=n+
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判别式△=(-
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| 3n2+2n |
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且g（n）=-
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①当0≤n≤4，n∈N时，∵g（n+1）＞0，
∴方程(x-n)[x-(n+
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即存在5个满足题意的点P．
②当n≥5（n∈N）时，∵g（n+1）＜0，
∴方程(x-n)[x-(n+
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综上所述，满足题意的点P有5个．
（3）由（2）知f′（x）=-
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∴当x∈（n，n+
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∴当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x）max=f（n+
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又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，
∴对任意的n∈N*，当xn∈[n，n+1]时，都有0≤f(xn)≤
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∴Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn）
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∴0≤Sn＜4．
点评：本题考查解析式的求法，考查满足条件的点的个数的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
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，且当x∈[0，1]时，f（x）=27x2（1-x）．