题目内容

(13分)已知函数f(x)=lnx,g(x)=(a≠0)
(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;
(2)若a=1,b=-2设f(x)的图象C1与g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,M、N的横坐标是m,求证:f'(m)<g'(m)。
(1)h(x)=lnx--2x,x,h'(x)=在(0,+)有实根,且不为重根。解得:a(-1,0)(0,+)。
(2)见解析。
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用,以及不等式的恒成立的证明。
(1)因为h(x)=lnx--2x,x
h'(x)=在(0,+)有实根,且不为重根。
得到证明。
(2)f'(x)= g'(x)=x-2
设P(x1,y1) Q(x2,y2),且x1<x2
PQ中点为(),只要证明即可。分析法证明。
解:(1)h(x)=lnx--2x,x
h'(x)=在(0,+)有实根,且不为重根。
解得:a(-1,0)(0,+)。(6分)
(2)f'(x)= g'(x)=x-2
设P(x1,y1) Q(x2,y2),且x1<x2
PQ中点为(),只要证明-2
又只要证明:
只要证明:  令
只要证明:
令:F(t)=lnt- 可证得:F'(t)>0,所以F(t)在范围内为增函数又F(1)="0" ,所以F(t)>0在范围内恒成立
得证。
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