Question

9．已知函数f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），若对x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最大值为$\frac{π-3}{2}$，则
（1）实数a的值为1；
（2）函数f（x）在（0，π）内的零点个数为2．

Answer 1

分析 根据函数的最值金额三角函数的性质即求出a的值，
根据函数零点定理即可求出函数零点的个数

解答 解：（1）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，有sinx+xcosx＞0，当a=0时，f（x）=-$\frac{3}{2}$，不合题意；
当a＜0时，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＜0，从而f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]单调递减，
又函数在上图象是连续不断的，故函数在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为f（0）=-$\frac{3}{2}$，不合题意；
当a＞0时，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，从而f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，单调递增，
又函数在上图象是连续不断的，故函数在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{πa}{2}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，解得a=1，
（2）由（1）知，f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$从而有f（0）=-$\frac{3}{2}$＜0，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π-3}{2}$＞0，
又函数在上图象是连续不断的，所以函数f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，内至少存在一个零点，
又由（1）知f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]单调递增，故函数f（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]，内仅有一个零点．
当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，
由g（$\frac{π}{2}$）=1＞0，g（π）=-π＜0，且g（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈[$\frac{π}{2}$，π]，使得g（m）=0．
由g′（x）=2cosx-xsinx，知x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上单调递减．
当x∈[$\frac{π}{2}$，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在[$\frac{π}{2}$，m）内单调递增
故当x∈[$\frac{π}{2}$，m）时，f（x）＞f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π-3}{2}$＞0，从而f（x）在[$\frac{π}{2}$，m）内无零点；
当x∈[m，π]时，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，从而f（x）在[m，π]内单调递减．
又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点．
综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．
故答案为：（1）1，（2）2．

点评 本题考查利用导数研究函数的最值，研究函数的单调性，及函数零点的判定定理，解题的关键是利用导数这个工具研究清楚函数的单调性，本题考察了转化的思想方法及判断推理的能力，是高考中常见的题型，必考题，学习时要悉心掌握此类题的解题规律