Question

设为奇函数，a为常数，
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（3）若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

（1）解：f（ x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴1-a²x²=1-x²a=±1，
经检验a=1（舍），∴a=-1。
（2）证明：任取x₁＞x₂＞1，∴x₁-1＞x₂-1＞0，
∴
，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）内单调递增. 
（3）解：f（x）-（）^x＞m恒成立，
令g（x）=f（x）-（）^x，只需g（x）_min＞m，
用定义可以证g（x）在［3，4］上是增函数，
∴g（x）_min=g（3）=-，
∴m＜-时，原式恒成立。