题目内容
设为奇函数,a为常数.(1)求a的值;
(2)若对于区间[3,4]上的每一个x值,不等式恒成立,求实数m取值范围.
【答案】分析:(1)根据奇函数的定义,我们可得f(-x)=-f(x),结合已知中,可以构造一个关于a的方程,解方程即可求出a的值;
(2)构造函数g(x)=f(x)-()x,判断函数g(x)在区间[3,4]上的单调性,并求出函数g(x)在区间[3,4]上的最小值,进而得到满足条件的实数m取值范围.
解答:解:(1)f(-x)=-f(x),,可得
⇒(a2-1)x2=0⇒a=±1
a=1时舍去,故a=-1
(2)f(x)=
构造g(x)=f(x)-()x=-()x
易得g(x)在区间[3,4]上单调递增
∴g(x)≥g(3)=-
m<-
∴m∈(-∞,-)
点评:本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用,及奇函数的性质,其中根据奇函数的性质求出a值,进而得到函数f(x)的解析式是解答本题的关键.
(2)构造函数g(x)=f(x)-()x,判断函数g(x)在区间[3,4]上的单调性,并求出函数g(x)在区间[3,4]上的最小值,进而得到满足条件的实数m取值范围.
解答:解:(1)f(-x)=-f(x),,可得
⇒(a2-1)x2=0⇒a=±1
a=1时舍去,故a=-1
(2)f(x)=
构造g(x)=f(x)-()x=-()x
易得g(x)在区间[3,4]上单调递增
∴g(x)≥g(3)=-
m<-
∴m∈(-∞,-)
点评:本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用,及奇函数的性质,其中根据奇函数的性质求出a值,进而得到函数f(x)的解析式是解答本题的关键.
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