题目内容
已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)为二次函数,且满足f(2)=-1,不等式组的解集是{x|1<x<3}.(1)求函数f(x)的解析式;
(2)作出f(x)的图象并根据图象讨论关于x的方程:f(x)-c=0(c∈R)根的个数.
【答案】分析:(1)由题意得当x>0时,设f(x)=a(x-1)(x-3),由f(2)=-1,求得a 的值,即得f(x)的解析式.x<0时,则有-x>0,利用奇函数的性质求出f(x)的解析式,再由f(0)=0,即可得到f(x)在R上的解析式.
(2)作出f(x)的图象,方程f(x)-c=0得根的个数即直线y=c和y=f(x)的图象交点个数,数形结合得出结论.
解答:解:(1)由题意得当x>0时,设f(x)=a(x-1)(x-3),∵f(2)=-1,∴a=1,∴f(x)=x2-4x+3.
当x<0时,则有-x>0,∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)+3]=-x2-4x-3,即:f(x)=-x2-4x-3.
当x=0时,由f(-x)=-f(x)得:f(0)=0.
所以,.…(5分)
(2)作图(如图所示):
…(8分)
由f(x)-c=0得:c=f(x),在上图中作y=c,根据直线y=c和y=f(x)的图象交点个数讨论方程的根:
当c≥3或c≤-3,方程有1个根.
当1<c<3或-3<c<-1,方程有2个根.
当c=-1或c=1,方程有3个根.
当0<c<1或-1<c<0,方程有4个根.
当 c=0,方程有5个根.…(10分)
点评:本题主要考查方程的根的个数判断方法、函数的奇偶性的应用以及二次函数的性质,体现了数形结合的数学思想,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.
(2)作出f(x)的图象,方程f(x)-c=0得根的个数即直线y=c和y=f(x)的图象交点个数,数形结合得出结论.
解答:解:(1)由题意得当x>0时,设f(x)=a(x-1)(x-3),∵f(2)=-1,∴a=1,∴f(x)=x2-4x+3.
当x<0时,则有-x>0,∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)+3]=-x2-4x-3,即:f(x)=-x2-4x-3.
当x=0时,由f(-x)=-f(x)得:f(0)=0.
所以,.…(5分)
(2)作图(如图所示):
…(8分)
由f(x)-c=0得:c=f(x),在上图中作y=c,根据直线y=c和y=f(x)的图象交点个数讨论方程的根:
当c≥3或c≤-3,方程有1个根.
当1<c<3或-3<c<-1,方程有2个根.
当c=-1或c=1,方程有3个根.
当0<c<1或-1<c<0,方程有4个根.
当 c=0,方程有5个根.…(10分)
点评:本题主要考查方程的根的个数判断方法、函数的奇偶性的应用以及二次函数的性质,体现了数形结合的数学思想,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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已知f(x)为R上的减函数,则满足f(
)>f(1)的实数x的取值范围是( )
1 |
x |
A、(-∞,1) |
B、(1,+∞) |
C、(-∞,0)∪(0,1) |
D、(-∞,0)∪(1,+∞) |
已知 f(x)为R上的可导函数,且f(x)<f'(x)和f(x)>0对于x∈R恒成立,则有( )
A、f(2)<e2-f(0),f(2010)>e2010-f(0) | B、f(2)>e2-f(0),f(2010)>e2010-f(0) | C、f(2)<e2-f(0),f(2010)<e2010-f(0) | D、f(2)<e2-f(0),f(2010)<e2010-f(0) |