Question

【题目】已知a＜0，曲线f（x）=2ax2+bx+c与曲线g（x）=x2+alnx在公共点（1，f（1））处的切线相同． （Ⅰ）试求c﹣a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax2+bx+c，f（1）=2a+b+c， ∴f′（x）=4ax+b，f′（1）=4a+b，
又g（x）=x2+alnx，g（1）=1，
∴g′（x）=2x+ ，g′（1）=2+a，
∴ ，得 ，
故c﹣a=﹣1；
（Ⅱ）∵f（x）≤g（x）+a+1恒成立，
∴（2a﹣1）x2+（2﹣3a）x﹣alnx﹣2≤0对x∈（0，+∞）恒成立，
令h（x）=（2a﹣1）x2+（2﹣3a）x﹣alnx﹣2，（a＜0），
则h′（x）= ，
令h′（x）=0，解得：x=1或x=﹣ ＜0，（舍），
故h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
则h（x）max=h（1）=﹣a﹣1≤0，解得：a≥﹣1，
故a∈[﹣1，0）．
【解析】（Ⅰ）分别求出f（x），g（x）的导数，得到关于a，b，c的方程组，求出c﹣a的值即可；（Ⅱ）根据（2a﹣1）x2+（2﹣3a）x﹣alnx﹣2≤0对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）=（2a﹣1）x2+（2﹣3a）x﹣alnx﹣2，（a＜0），根据函数的单调性求出函数的最大值，从而求出a的范围即可．