题目内容
【题目】设向量 =(4cosα,sinα),
=(sinβ,4cosβ),
=(cosβ,﹣4sinβ)
(1)若 与
﹣2
垂直,求tan(α+β)的值;
(2)若β∈(﹣ ],求|
|的取值范围.
【答案】
(1)解: ﹣2
=(sinβ﹣2cosβ,4cosβ+8sinβ)
∵ 与
﹣2
垂直,
∴ (
﹣2
)=0,
即4cosαsinβ﹣8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)﹣8cos(α+β),
则sin(α+β)=2cos(α+β),
即tan(α+β)=2,
(2)解:由 =(sinβ+cosβ,4cosβ﹣4sinβ),
则| |2=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ﹣4sinβ)2=17﹣15sin2β,
∵β∈(﹣ ],
∴2β∈(﹣ ,
],
则 <sin2β≤1,
则2≤17﹣15sin2β< ,
则2≤| |2<
,
则 ≤|
|<
即| |的取值范围是[
,
)
【解析】(1)根据 与
﹣2
垂直,转化为数量积为0,结合三角函数的两角和差的公式进行转化求解即可.(2)根据向量模长的公式 进行化简,结合三角函数的有界性进行求解.
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正切公式的相关知识点,需要掌握两角和与差的正切公式:才能正确解答此题.
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