题目内容
【题目】已知定点
，
是直线
：
上一动点，过作的垂线与线段
的垂直平分线交于点
.的轨迹记为
.
（1）求的方程；
（2）直线
（
为坐标原点）与交于另一点
，过作垂线与交于
，直线
是否过平面内一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
【答案】(1) 
(2) 
过定点
.理由见解析
【解析】
（1）利用抛物线的定义可求得
的轨迹
的方程；
（2）设
，根据条件求出直线
的方程，再根据对称性知，若直线过定点，该定点必在
轴上，从而令直线方程中的
，计算是否为定值，进而判断直线是否过定点.
（1）由已知得到直线
的距离与到定点
的距离相等，
所以点的轨迹为抛物线，则
，所以的方程.
（2）设，则
：
，与联立得
.
又
，得直线：
，
由对称性知若过定点，则定点一定在轴上，令，得
，
所以过定点.
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