Question

【题目】已知定点，是直线：上一动点，过作的垂线与线段的垂直平分线交于点.的轨迹记为.

（1）求的方程；

（2）直线（为坐标原点）与交于另一点，过作垂线与交于，直线是否过平面内一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 过定点.理由见解析

【解析】

（1）利用抛物线的定义可求得的轨迹的方程；

（2）设，根据条件求出直线的方程，再根据对称性知，若直线过定点，该定点必在轴上，从而令直线方程中的，计算是否为定值，进而判断直线是否过定点.

（1）由已知得到直线的距离与到定点的距离相等，

所以点的轨迹为抛物线，则，所以的方程.

（2）设，则：，与联立得.

又，得直线：，

由对称性知若过定点，则定点一定在轴上，令，得

，

所以过定点.