题目内容
17.已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+c(c∈R).对任意的x∈R 都有f(x)≤g(x)成立.(1)求c的取值范围:
(2)设h(x)=$\frac{g(x)}{f(x)}$,若h(x)在[2.+∞)上为增函数,求c的取值范围.
分析 (1)由题意可得x2-2x+c≥0恒成立,由判别式小于等于0,即可得到所求范围;
(2)由题意可得h′(x)=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{c}{{x}^{2}}$)≥0在[2.+∞)上恒成立,运用参数分离,求得右边函数的最小值,即可得到所求范围.
解答 解:(1)对任意的x∈R 都有f(x)≤g(x)成立,
即为x2-2x+c≥0恒成立,
即有判别式△=4-4c≤0,
解得c≥1;
(2)h(x)=$\frac{{x}^{2}+c}{2x}$=$\frac{1}{2}$(x+$\frac{c}{x}$),
h′(x)=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{c}{{x}^{2}}$),
由h(x)在[2.+∞)上为增函数,
可得$\frac{1}{2}$(1-$\frac{c}{{x}^{2}}$)≥0在[2.+∞)上恒成立,
即为c≤x2的最小值,
由y=x2在[2.+∞)上的最小值为4.
即有c≤4,又c≥1,
可得1≤c≤4.
点评 本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用二次函数的性质和参数分离,考查运算能力,属于中档题.
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