题目内容
【题目】已知 R,函数
=
.
(1)当 时,解不等式
>1;
(2)若关于 的方程
+
=0的解集中恰有一个元素,求
的值;
(3)设 >0,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1,求
的取值范围.
【答案】
(1)
解:由 ,得
,解得
(2)
解: 有且仅有一解,
等价于 有且仅有一解,等价于
有且仅有一解.
当 时,
,符合题意;
当 时,
,
.
综上, 或
.
(3)
解:当 时,
,
,
所以 在
上单调递减.
函数 在区间
上的最大值与最小值分别为
,
.
即
,对任意
成立.
因为 ,所以函数
在区间
上单调递增,
所以 时,
有最小值
,由
,得
.
故 的取值范围为
【解析】(1)由 ,利用得
求解.(2)转化得到
,讨论当
、
时的情况.(3)讨论
在
上单调递减.确定函数
在区间
上的最大值与最小值之差.得到
,对任意
成立.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,以及对指、对数不等式的解法的理解,了解指数不等式的解法规律:根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律:根据对数函数的性质转化.
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