Question

已知角A、B为锐角，且cos（A+B）•sinB=sinA，则tanA的最大值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   3
4. D.
   

Answer 1

A
分析：由条件可得-cosCsinB=sinA，利用正弦定理和余弦定理可得3a²+b²=c²，由 tan²A=-1，且A为锐角，判断知，
求tanA的最大值即求cosA的最小值，由基本不等式求出cosA的最小值，从而求得tanA的最大值．
解答：由cos（A+B）sinB=sinA得-cosCsinB=sinA，
利用正弦定理和余弦定理，-×b=a，化简可得 3a²+b²=c²．
由 tan²A=-1，且A为锐角可得，可得 cosA＞0，tanA＞0．
只要求出cosA的最小值，就可求得tanA的最大值．
又cosA==≥，当且仅当 b=c时，等号成立．
即cosA的最小值为 ． 故tan²A 的最大值为 ，
故tanA的最大值 =．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．