Question

在锐角△ABC中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列．
（1）若△ABC的面积为

3 3

2

，且sin²A+sin²C=

13

7

sin2B，求a，b，c的值．
（2）求sin²A+sin²C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题中的条件求出B=

π

3

，ac=6，由正弦定理求得a²+c²=

13

7

b²，再由余弦定理求得a²+c²=13，由此可得a、b、c的值．
（2）由条件可得A∈（

π

6

，

π

2

），化简sin²A+sin²C 为

1

2

cos(2A-

π

6

)+1，求出2A-

π

6

的范围，可得sin（2A-

π

6

）的范围，从而求得sin²A+sin²C 的范围．

解答：解：（1）若锐角△ABC的角A，B，C成等差数列，∴B=

π

3

．
再由△ABC的面积为

3 3

2

可得

3 3

2

=

1

2

ac•sinB，∴ac=6．
由sin²A+sin²C=

13

7

sin2B，可得 a²+c²=

13

7

b²  ①．
再由 b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-6 可得 a²+c²=13 ②，
由①②可得 b²=7，即 b=

7

．
由ac=6 和 a²+c²=1可得 a=2、c=3，或 a=3、c=2．
综上可得，a=2、b=

7

、c=3，或 a=3、b=

7

、c=2．
（2）由锐角△ABC中，B=

π

3

 可得A+C=

2π

3

，∴A∈（

π

6

，

π

2

），
sin²A+sin²C=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

=1-

1

2

cos2A-

1

2

cos(

4π

3

-2A)=

1

2

cos(2A-

π

6

)+1．
由A∈（

π

6

，

π

2

），可得 2A-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），∴

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，
∴

5

4

＜

1

2

cos(2A-

π

6

)+1≤

3

2

，即 sin²A+sin²C的取值范围为（

5

4

，

3

2

]．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，正弦定理、余弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．