题目内容
【题目】设为实数,函数
.
(1)若,求
的取值范围;
(2)讨论的单调性;
(3)当时,讨论
在区间
内的零点个数.
【答案】(1) .
(2) 在
上单调递增,在
上单调递减.
(3) 当时,
有一个零点
;当
时,
有两个零点.
【解析】
试题分析:(1)先由可得
,再对
的取值范围进行讨论可得
的解,进而可得
的取值范围;(2)先写函数
的解析式,再对
的取值范围进行讨论确定函数
的单调性;(3)先由(2)得函数
的最小值,再对
的取值范围进行讨论确定
在区间
内的零点个数.
试题解析:(1),因为
,所以
,
当时,
,显然成立;当
,则有
,所以
.所以
.
综上所述,的取值范围是
.
(2)
对于,其对称轴为
,开口向上,
所以在
上单调递增;
对于,其对称轴为
,开口向上,
所以在
上单调递减.
综上所述,在
上单调递增,在
上单调递减.
(3)由(2)得在
上单调递增,在
上单调递减,所以
.
(i)当时,
,
令,即
(
).
因为在
上单调递减,所以
而在
上单调递增,
,所以
与
在
无交点.
当时,
,即
,所以
,所以
,因为
,所以
,即当
时,
有一个零点
.
(ii)当时,
,
当时,
,
,而
在
上单调递增,
当时,
.下面比较
与
的大小
因为
所以
结合图象不难得当时,
与
有两个交点.
综上所述,当时,
有一个零点
;当
时,
有两个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目