Question

7．给出四个等式：1=1；1-4=-（1+2）；1-4+9=1+2+3；1-4+9-16=-（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N^*）个等式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 由已知猜测：第n（n∈N^*）个等式为：1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²=（-1）^n-1（1+2+…+n）=（-1）^n-1$\frac{n（n+1）}{2}$．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：1=1；1-4=-（1+2）；1-4+9=1+2+3；1-4+9-16=-（1+2+3+4）…．
猜测第n（n∈N^*）个等式为：1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²=（-1）^n-1（1+2+…+n）=（-1）^n-1$\frac{n（n+1）}{2}$．
下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1=1，成立；
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，等式1-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²=$（-1）^{k-1}•\frac{k（k+1）}{2}$成立．
则当n=k+1时，左边=1-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²+（-1）^k•（k+1）²=$（-1）^{k-1}•\frac{k（k+1）}{2}$+（-1）^k•（k+1）²=（-1）^k$[（k+1）^{2}-\frac{k（k+1）}{2}]$=（-1）^k•$\frac{（k+1）[（k+1）+1]}{2}$=右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上可得：第n（n∈N^*）个等式为：1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²=（-1）^n-1（1+2+…+n）=（-1）^n-1$\frac{n（n+1）}{2}$成立．

点评 本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．