题目内容
【题目】设函数
是定义在
上的偶函数，当
时， 
）.
（1）当
时，求
的解析式；
（2）若
，试判断
的上单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在
，使得当
时， 
有最大值
.
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）
.
【解析】试题分析：(1)根据分段函数的奇偶性可得当
时，求
的解析式；（2）由于
可得
恒成立，得
在
上为增函数，根据对称性得
在
上为减函数；（3）讨论
时，当
时两种情况，研究单调性并求最值，舍去不合题意的情况，即可得结论.
试题解析： (1)设
，则
，又
是偶函数， 
.
（2）
,又
，即
在
上为增函数.
（3）当
时， 
在
上是增函数， 
，（不合题意，舍去）.
当
时， 
，令
，如下表：
|
|
|
|
|
|
| |
| ↗ | 最大值 | ↘ |
在
处取得最大值
，满足条件，当
时，
在
上单调递减， 
在
无最大值，所以存在
，使
在
上有最大值.
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