Question

【题目】已知函数f（x）=ln（ax+b）+ex﹣1（a≠0）．
（1）当a=﹣1，b=1时，判断函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）≤ex﹣1+x+1，求ab的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣1，b=1时，f（x）=ln（﹣x+1）+ex﹣1，定义域为{x|x＜1}，

当x≤0时，f（x）=ln（﹣x+1）+ex﹣1＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0]内无零点；

当0＜x＜1时， ，因为 ，ex﹣1＜1，所以 ，

说明函数f（x）在（0，1）上单调递减，

又f（0）=e﹣1＞0，当 时， ，

所以函数f（x）在（0，1）内有且只有一个零点；

综上，函数f（x）的零点个数是1；

（2）解：若ln（ax+b）+ex﹣1≤ex﹣1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，设g（x）=ln（ax+b）﹣x﹣1，

若a＜0，则当x→﹣∞时，显然g（x）＞0，故不符合题意，所以a＞0．

（ax+b＞0），

当 时，g'（x）＞0，所以g（x）在 上单调递增；

当 时，g'（x）＜0，所以g（x）在 上单调递减；

从而 ，

由题意可知 ，所以b≤2a﹣alna，

此时ab≤2a2﹣a2lna，令h（a）=2a2﹣a2lna，h'（a）=3a﹣2alna，

可知h（a）在 上单调增，在 上单调减，

所以 ，故ab的最大值为 ．

【解析】（1）当a=﹣1，b=1时，化简函数的解析式，求出定义域，通过当x≤0时，f（x）＞0，说明函数f（x）在（﹣∞，0]内无零点；当0＜x＜1时，通过函数的导数，利用函数的单调性零点判定定理，推出结果．（2）不等式化为ln（ax+b）+ex﹣1≤ex﹣1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，设g（x）=ln（ax+b）﹣x﹣1，说明a＞0，清楚函数的 （ax+b＞0），当 时，判断函数的单调性，当 时，判断函数的单调性求出函数的最值，推出ab≤2a2﹣a2lna，令h（a）=2a2﹣a2lna，h'（a）=3a﹣2alna，求解函数的最大值即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．