Question

【题目】若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”．下列结论中正确的个数为（　　）

①是常数函数中唯一的“特征函数”；

②不是“特征函数”；

③“特征函数”至少有一个零点；

④是一个“特征函数”．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用新定义“特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．

对于①中，设，当时，函数是一个“特征函数”，

所以不是唯一的一个常值的“特征函数”，所以①不正确；

对于②中，函数，

则，即，

当时，，

当时，方程由唯一的解，

所以不存在常数使得对任意实数都成立，

所以函数不是“特征函数”，所以②正确．

对于③中，令，可得，所以，

若，显然有实数根，若，，

又因为的函数图象是连续的，所以在上必由实数根，

因此任意的“特征函数”必有实根，即任意“特征函数”至少有一个零点，

所以③是正确；

对于④中，假设是一个“特征函数”，则对任意的实数成立，

则有，而此式有解，所以是“特征函数”，所以④正确的，

所以正确命题共有②③④．

故选：C．