Question

4．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+a}$．
（Ⅰ）证明：当a=1，x＞0时，f（x）＞0；
（Ⅱ）若a＞1，讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）设n∈N*，比较$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{n}{n+1}$与n-ln（1+n）的大小，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{x+1}$，利用导数研究函数的单调性即可证明；
（Ⅱ）由题设，$x∈（{0\;，\;+∞}）\;，\;f'（x）=\frac{{x[{x-（{{a^2}-2a}）}]}}{{（{x+1}）{{（{x+a}）}^2}}}$．对a²-2a≤0，与a²-2a＞0，分类讨论即可得出；
（III）有结论$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{n}{n+1}＞n-ln（n+1）$，证明如下：
方法一：上述不等式等价于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N₊，则$\frac{1}{n+1}$＜ln$\frac{n+1}{n}$．利用数学归纳法证明即可．
方法二：上述不等式等价于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N₊，则ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$．化为ln（n+1）-lnn＞$\frac{1}{n+1}$．利用“累加求和”即可证明．

解答 （Ⅰ）证明：当a=1时，$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{x+1}$，
$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{（x+1）-x}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+x}}{{{{（x+1）}^2}}}$，
∴x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（0）=0，f（x）＞f（0）=0；
结论得证．
（Ⅱ）解：由题设，$x∈（{0\;，\;+∞}）\;，\;f'（x）=\frac{{x[{x-（{{a^2}-2a}）}]}}{{（{x+1}）{{（{x+a}）}^2}}}$．
①当a²-2a≤0，即1＜a≤2时，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a²-2a＞0，即a＞2时，有x∈（0，a²-2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a²-2a）上是减函数；x∈（a²-2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a²-2a，+∞）上是增函数．
综上可知：当1＜a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＞2时，f（x）在（0，a²-2a）上是减函数，在（a²-2a，+∞）上是增函数．
（Ⅲ）解：$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{n}{n+1}＞n-ln（n+1）$，证明如下：
方法一：上述不等式等价于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），
由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N₊，则$\frac{1}{n+1}$＜ln$\frac{n+1}{n}$．
下面用数学归纳法证明．
①当n=1时，$\frac{1}{2}$＜ln 2，结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k+1}$＜ln（k+1）．
那么，当n=k+1时，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$＜ln（k+1）+$\frac{1}{k+2}$＜ln（k+1）+ln$\frac{k+2}{k+1}$=ln（k+2），
即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N₊成立．
方法二：上述不等式等价于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），
由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N₊，则ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$．
故有ln 2-ln 1＞$\frac{1}{2}$，
ln 3-ln 2＞$\frac{1}{3}$，
…
ln（n+1）-ln n＞$\frac{1}{n+1}$，
上述各式相加可得ln（n+1）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$，
结论得证．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、数学归纳法、“累加求和”方法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．