题目内容
【题目】已知数列、
满足
,且
(1)令证明:
是等差数列,
是等比数列;
(2)求数列和
的通项公式;
(3)求数列和
的前n项和公式.
【答案】(1)证明见解析;(2),
;(3)数列
的前
项和为
,数列
的前
项和为
.
【解析】
(1)在等式中将两式分别相加或相减,利用等差数列的定义可证明出数列
是等差数列,利用等比数列的定义可证明出数列
为等比数列;
(2)求出数列、
的通项公式,可建立关于
、
的方程组,解出
、
,即可得出数列
和
的通项公式;
(3)利用分组求和法可求出数列和
的前
项和.
(1),
将上述两等式相加得,
即,因此
,又
,
所以数列是首项为
,公差为
的等差数列,
.
又由题设得,即
,
因此,又
,
所以数列是首项为
,公比为
的等比数列,
;
(2)由(1)知,
,即
,
解得,
;
(3)设数列和
的前
项和分别为
、
,
则,同理可得
.

【题目】随着自媒体直播平台的迅猛发展,直播平台上涌现了许多知名三农领域创作者,通过直播或视频播放,帮助当地农民在直播平台上销售了大量的农产品,促进了农村的经济发展,当地农业与农村管理部门对近几年的某农产品年产量进行了调查,形成统计表如下:
年份 | ||||||
年份代码 | ||||||
年产量 |
(1)根据表中数据,建立关于
的线性回归方程
;
(2)根据线性回归方程预测年该地区该农产品的年产量;
(3)从年到
年的
年年产量中随机选出
年的产量进行具体调查,求选出的
年中恰有一年的产量小于
万吨的概率.
附:对于一组数据、
、
、
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.(参考数据:
)
【题目】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数
(
的值精确到0.01);
(2)为查找影响学生阅读时间的因素,学校团委决定从每周阅读时间为,
的学生中抽取9名参加座谈会.
(i)你认为9个名额应该怎么分配?并说明理由;
(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多.请根据200名学生的调研数据,填写下面的列联表,并判断是否有的把握认为学生阅读时间不足(每周阅读时间不足8.5小时)与“是否理工类专业”有关?
阅读时间不足8.5小时 | 阅读时间超过8.5小时 | |
理工类专业 | 40 | 60 |
非理工类专业 |
附:(
).
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
<>![]() | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |