题目内容
【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
上的动点
到两焦点的距离之和为4,当点
运动到椭圆
的上顶点时,直线
恰与以原点
为圆心,以椭圆
的离心率为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为
,若
交直线
于
两点.问以
为直径的圆是否过定点?若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1).(2)
,
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆定义可知,
,由原点到直线
的距离求出
,得到椭圆的标准方程;(2)设
,
,则
,
,由
,得
,求出M,N的坐标,因为
,故以
为直径的圆与
轴交于两点,在以
为直径的圆中应用相交弦定理求出
,从而以
为直径的圆恒过两个定点
,
.
试题解析:(1)由椭圆定义可知,
,
直线,
故,
∴,
故椭圆的标准方程为:
.
(2)设,点
,则
,
,
由,得:
,
直线方程为:
,令
,则
,故
;
直线方程为:
,令
,则
,故
;
因为,故以
为直径的圆与
轴交于两点,设为
,
在以为直径的圆中应用相交弦定理得:
,
因为,所以
,
从而以为直径的圆恒过两个定点
,
.
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