Question

9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，则方程f[f（x）]=2实数根的个数为7．

Answer 1

分析 由f[f（x）]=2得：f（x）=1，或f（x）=5，或f（x）=$\frac{5}{4}$，分类讨论可得方程f[f（x）]=2实数根的个数．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，
若f（x）≤1，则f[f（x）]=$\frac{{2}^{f（x）}+2}{2}$=2，解得：f（x）=1，
若f（x）＞1，则f[f（x）]=|log₂（f（x）-1）|=2，解得：f（x）=5，或f（x）=$\frac{5}{4}$，
若x≤1，则f（x）=$\frac{{2}^{x}+2}{2}$∈（1，2]，
由f（x）=$\frac{5}{4}$，则x=-1，
若x＞1，则f（x）∈[0，+∞），
由f（x）=1得：x=$\frac{3}{2}$，或x=3，
由f（x）=5得：x=$\frac{33}{32}$，或x=33，
由f（x）=$\frac{5}{4}$得：x=1+$2\root{4}{5}$，或x=1+$\frac{1}{2\root{4}{5}}$，
综上所述，方程f[f（x）]=2实数根的个数为7个，
故答案为：7．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及个数判断，难度中档．