题目内容

14.已知函数f(x)=(ax-5)cosx-asinx(0≤x≤π),其中a为正实数.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在[0,π]上的零点个数.
(Ⅱ)对于定义域内的任意x1,x2,将|f(x1)-f(x2)|的最大值记作g(a),求g(a)的表达式.

分析 (Ⅰ)当a=1时,f(x)=(x-5)cosx-sinx,从而化简可得x-5=tanx,作函数y=x-5与函数y=tanx在[0,π]上的图象,从而确定零点的个数;
(Ⅱ)求导f′(x)=-(ax-5)sinx,分类讨论以确定函数的单调性,从而求函数的最值,从而求|f(x1)-f(x2)|的最大值g(a)即可.

解答 解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=(x-5)cosx-sinx,
令(x-5)cosx-sinx=0得x-5=tanx,
作函数y=x-5与函数y=tanx在[0,π]上的图象如下,

故f(x)在[0,π]上有且只有一个零点;
(Ⅱ)∵f(x)=(ax-5)cosx-asinx,
∴f′(x)=acosx-(ax-5)sinx-acosx
=-(ax-5)sinx,
当πa-5≤0,即a≤$\frac{5}{π}$时,f′(x)>0在(0,π)上恒成立;
故f(x)=(ax-5)cosx-asinx在[0,π]上是增函数,
而fmin(x)=f(0)=-5cos0=-5,fmax(x)=f(π)=(aπ-5)cosπ-asinπ=5-aπ,
故g(a)=5-aπ-(-5)=10-aπ.
当a>$\frac{5}{π}$时,由导数知f(x)=(ax-5)cosx-asinx在[0,$\frac{5}{a}$)上是增函数,在($\frac{5}{a}$,π]上是减函数,
故fmax(x)=f($\frac{5}{a}$)=-asin$\frac{5}{a}$,
f(0)=-5,f(π)=5-aπ,
当$\frac{5}{π}$<a≤$\frac{10}{π}$时,f(π)-f(0)=10-aπ≥0,
故fmin(x)=f(0)=-5,
故g(a)=-asin$\frac{5}{a}$-(-5)=5-asin$\frac{5}{a}$;
当a>$\frac{10}{π}$时,
fmin(x)=f(π)=5-aπ,
故g(a)=-asin$\frac{5}{a}$-(5-aπ)=aπ-5-asin$\frac{5}{a}$;
综上所述,
g(a)=$\left\{\begin{array}{l}{10-aπ,a≤\frac{5}{π}}\\{5-asin\frac{5}{a},\frac{5}{π}<a≤\frac{10}{π}}\\{aπ-5-asin\frac{5}{a},a>\frac{10}{π}}\end{array}\right.$.

点评 本题考查了数形结合的思想及分类讨论的思想,同时考查了导数的综合应用,属于难题.

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