题目内容
17.(1)(用综合法证明)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且A、B、C成等差数列,a,b,c成等比数列,证明:△ABC为等边三角形.
(2)(用分析法证明)
设a,b,c为一个三角形的三边,s=$\frac{1}{2}$(a+b+c),且s2=2ab,试证:s<2a.
分析 (1)通过A、B、C成等差数列及三角形内角和定理可知$B=\frac{π}{3}$,利用b2=ac及余弦定理计算可知ac=a2+c2-ac,进而可知A=C,从而可得结论;
(2)通过s2=2ab可知要证s<2a即证b<s,利用s=$\frac{1}{2}$(a+b+c)即证b<a+c,而a、b、c为一个三角形的三条边能保证这一点.
解答 证明:(1)因为A、B、C成等差数列,所以2B=A+C,
又因为A+B+C=π,所以$B=\frac{π}{3}$,
因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,
所以ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,
所以a=c,所以A=C,
又$B=\frac{π}{3}$,所以$A=B=C=\frac{π}{3}$,
所以△ABC为等边三角形;
(2)要证s<2a,由于s2=2ab,
所以只需证s<$\frac{s2}{b}$,即证b<s,
因为s=$\frac{1}{2}$(a+b+c),所以只需证2b<a+b+c,即证b<a+c,
由于a,b,c为一个三角形的三条边,所以上式成立,于是原命题成立.
点评 本题考查综合法与分析法来证明命题,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
7.已知$\frac{1-cosx+sinx}{1+cosx+sinx}$=-2,则sinx的值为( )
A. | $\frac{4}{5}$ | B. | -$\frac{4}{5}$ | C. | -$\frac{3}{5}$ | D. | -$\frac{\sqrt{15}}{5}$ |
12.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,在∠ACB内部任意作一条射线CM,与线段AB交于点M,则AM<AC的概率( )
A. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
2.与向量$\overrightarrow d=(12,5)$平行的单位向量为( )
A. | $(\frac{12}{13},5)$ | B. | $(-\frac{12}{13},-\frac{5}{13})$ | ||
C. | $(\frac{12}{13},\frac{5}{13})$或$(-\frac{12}{13},-\frac{5}{13})$ | D. | $(±\frac{12}{13},±\frac{5}{13})$ |