题目内容
11.给出下列四个命题:①函数y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{|x+2|-2}$为奇函数;
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点;
③函数y=2${\;}^{\frac{1}{x}}$的值域是(0,+∞);
④若函数f(2x)的定义域为[1,2],则函数f(2x)的定义域为[1,2];
其中正确命题的序号是(填上所有正确命题的序号)①④.
分析 ①通过函数的定义域化简,得到y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$,再由奇偶性的定义,即可判断;
②比如奇函数y=$\frac{1}{x}$的图象,即可判断;
③由定义域和指数函数的值域,即可判断;
④函数的定义域的定义:自变量x的取值集合,即可判断;
解答 解:①函数首先必须满足1-x2≥0,即-1≤x≤1,1≤x+2≤3,
则函数化简为y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$,定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,
f(-x)=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$=-f(x),即函数为奇函数,故①正确,
②比如y=$\frac{1}{x}$是奇函数,大图象不过原点,故②错误;
③由于x≠0,则y≠1,函数y=2${\;}^{\frac{1}{x}}$的值域是(0,1)∪(1,+∞).故③错误;
④若函数f(2x)的定义域为[1,2],则f(x)的定义域为[2,4],令2≤2x≤4,1≤x≤2,
则函数f(2x)的定义域为[1,2],故④正确;
故答案为:①④
点评 本题考查与函数有关的命题的真假判断,考查函数的奇偶性、单调性及运用,以及抽象函数的定义域问题.涉及的知识点较多,比较综合.
练习册系列答案
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